分数布朗运动是由Benoit Mandelbrot与Van Ness于1968年提出的随机过程，作为标准布朗运动的扩展模型。其通过Hurst指数（H）量化时间序列的长程相关性与自相似性：H=0.5时为独立随机游走；H>0.5呈现趋势持续性，H呈现反持续性。该模型因非独立增量特性突破了马尔科夫假设，成为描述金融市场分形波动的重要工具。
在金融领域，分数布朗运动通过Hurst指数刻画资产价格的长期记忆效应，能更精准拟合市场波动的“尖峰厚尾”特征。基于此构建的期权定价模型（如修正Black-Scholes方程）显著优于传统几何布朗运动框架，尤其在考虑交易成本、红利分配及路径依赖的复杂衍生品（如两值期权、回望期权）中展现出更高精度 。分形市场假说（FMH）依托其理论，揭示了市场价格的非周期循环与信息滞后效应。
历史演进中，Hurst于1951年通过尼罗河流量研究提出，奠定实证基础。后续学者如Edgar E. Peters将其应用于资本市场分形结构验证，中国研究团队亦通过沪深股市Hurst指数测算（上证0.634、深证0.672）佐证其适用性。随着金融数学发展，该模型被扩展至混合分数布朗运动、双分数布朗运动等场景，形成涵盖期权定价、保险偿付评估等领域的理论体系 。
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